Çemberde Uzunluk ve Açı - Üçgende Alan (Soru hatalı)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/zembe100.png
https://www.facebook.com/photo/?fbi...22389&idorvanity=289690338076153&locale=tr_TR

|AO| = |BO| = |DO| = r
∡BOD = θ ⇒ ∡DBO = ∡OBD = π / 2 - (θ / 2)
∡DAO = ∡ADO = ∡CBD = θ / 2
∡AOD = π - θ
Sarı Alan = π·r^2·(π - θ) / (2π) - (1 / 2)·r^2·sin(π - θ) = 10
r^2·(π - θ) / 2 - (1 / 2)·r^2·sin(θ) = 10
r^2·(π - θ) - r^2·sin(θ) = 20
r^2·(π - θ) - r^2·2·sin(θ / 2)·cos(θ / 2) = 20....(I)
ADB Dik Üçgeninde sin(θ / 2) = |BD| / (2r) ⇒ |BD| = 2r·sin(θ / 2)....(II)
ABC Dik Üçgeninde tan(θ / 2) = |BC| / (2r) ⇒ |BC| = 2r·tan(θ / 2)....(III)
AD Yayı = 2·|BC| ⇒ r·(π - θ) = 2·2r·tan(θ / 2) = 4r·tan(θ / 2) ⇒ tan(θ / 2) = (π - θ) / 4....(IV)
Alan(ΔBCD) = (1 / 2)·|BD|·|BC|·sin(θ / 2) = 2 eşitliğinde (II) ve (III) yazılıp,
Alan(ΔBCD) = (1 / 2)·[ 2r·sin(θ / 2) ]·[ 2r·tan(θ / 2) ]·sin(θ / 2) = 2 ⇒ r^2·[ sin(θ / 2) ]^3 = cos(θ / 2)....(V)
(IV) eşitliğinde değişken dönüşümüyle (π - θ) / 4 = x....(VI)
tan(θ / 2) = x....(VII) ⇒ sin(θ / 2) = x / (1 + x^2)^0,5....(VIII) ve cos(θ / 2) = 1 / (1 + x^2)^0,5....(IX)
Yeşil Bölgenin Alanı = Alan(ΔBDO) = (1 / 2)·r·r·sin(θ) = (r^2 / 2)·2·sin(θ / 2)·cos(θ / 2) = r^2·sin(θ / 2)·cos(θ / 2)....(X)
(VIII) ve (IX) eşitlikleri (X)'teki yerlerine yazıldığında Yeşil Bölgenin Alanı = Alan(ΔBDO) = r^2·x / (1 + x^2)....(XI)
(VIII) ve (IX) eşitlikleri (I)'de kullanılınca;
r^2·(π - θ) - r^2·2·[ x / (1 + x^2)^0,5 ]·[ 1 / (1 + x^2)^0,5 ] = 20
r^2·(π - θ) - 2·[ r^2·x / (1 + x^2) ] = 20
r^2·(π - θ) - 2·Alan(ΔBDO) = 20
[ r^2·(π - θ) - 20 ] / 2 = Alan(ΔBDO) = Yeşil Bölgenin Alanı

Sonuç: Çemberin r yarıçapı ve BD yayını gören θ = ∡BOD merkez açısı bilinmeden Yeşil Bölgenin Alanı hesaplanamaz ama o durumda da problem çok basitleşmiş olur.

Notlar:
1. Soruyu aşağıdaki gibi İngilizce dilinde anlatarak www.mathful.com'daki yapay zekâya da sordum ama o da herhangi bir sayısal değer bulamadı. Merak edenler için 17 sayfalık incelemesi ektedir.
There is an ADB right triangle whose edges [AD] and [BD] are perpendicular to one another, and the triangle is inscribed in a semi- circle whose diameter is [AB] with the center O, so |AO| = |BO|. There is another point C outside of the semi-circle so that [BC] is vertical to [AB], and the points A, D, and C are collinear; that is, all of these three points are on the same line [AC]. The length of the circle arc AD is twice that of the edge [BC]. The area of the circle piece surrounded by the circle arc AD and the line [AD] is 10 square units. The area of the triangle BCD is 2 square units. Find the area of the isosceles triangle BDO.

2. Doğru problem hazırlama yüzdesi bizimki kadar düşük bir ülke olmadığına inanıyorum.