Çözüldü Dinamiğin İkinci Yasası - Kinematik - Türev ve İntegral

University of Akron'dan çözümlü bir problemin (metrik sistemde) fen lisesi klasik sınavı (hesap makinesi kullanımı serbest) için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:

Dinamik için Newton'un belirlediği ikinci yasa kapsamında ve SI Birimler sisteminde;
Zaman: t (saniye, s)
Kütle: m (kg)
İvme: a (metre / s^2)
Kuvvet: F (Newton)
ΣF = m·a
Hız: v (metre / saniye)
Hava direnci veya su akıntısı vb. nedeniyle sürtünmeden kaynaklanan bir orantı sabiti: k (kg / s)
Harekete ilişkin genel diferansiyel denklem de m·(dv / dt) = F - k·v şeklinde yazılır.
Bu bilgilere göre;
1 Tonluk teknenin iskeleden doğrusal yönde harekete başlayıp akıntı nedeniyle oluşan ve saniyede 100 kg'lık sabit bir dirence karşı hızlanmasını sağlayan motorunun itme kapasitesi 5 tonsa, 2 saniye sonraki hızıyla iskeleden ne kadar uzakta olduğunu ve hızını bularak uzaklığının hızına bağlı fonksiyonunu yazınız.

1000·v '(t) = 5000 - 100·v(t)
dv / dt = -v / 10 + 5
dv / (5 - v / 10) = dt....(I)
u = 5 - v / 10....(II)
v = 50 - 10u ⇒ u(t) = 5 - v(t) / 10....(III)
dv = -10du....(IV)
(II) ve (IV) eşitlikleri (I) denklemindeki yerlerine konulup -10du / u = dt
-10ln(u) = t + C1
ln(u) = -t / 10 - C1 / 10
u(t) = e^(-t / 10)·e^(-C1 / 10)
u(t) = C2·e^(-t / 10) eşitliğinde (III) bağıntısı kullanılınca 5 - v(t) / 10 = C2·e^(-t / 10)
v(t) = 50 - 10C2·e^(-t / 10)
v(t) = 50 - C·e^(-t / 10)....(V) genel hız denklemi bulunur ve t = 0 için (V) eşitliğinden,
v(0) = 0 = 50 - C ⇒ C = 50 ⇒ v(t) = 50·[ 1 - e^(-t / 10) ]....(VI) özel çözümü yazılır.
İskeleden uzaklığın (Distance) zamana bağlı fonksiyonu: D(t) = ∫ v(t) dt
D(t) = ∫ 50·[ 1 - e^(-t / 10) ] dt
D(t) = 50·[ t + 10·e^(-t / 10) ] + C3 ve t = 0 anında tekne iskeleye bağlı, yani uzaklığı 0, olduğundan,
D(0) = 0 = 50·(0 + 10·1) + C3 ⇒ C3 = -500 ve uzaklık denkleminin özel çözümü,
D(t) = 50·[ t + 10·e^(-t / 10) ] - 500....(VII)
Teknenin harekete başlamasından 2 saniye sonra,
Hızı (VI) denkleminden v(2) = 50·[ 1 - e^(-1 / 5) ] m / s, (≈ 9,063... m / s),
İskeleden Uzaklığı (VII) denkleminden D(2) = 50·[ 2 + 10·e^(-1 / 5) ] - 500 = 500·e^(-1 / 5) - 400 m, (≈9,365... m)
(VI) eşitliğinden e^(-t / 10) = 1 - v(t) / 50....(VIII)
(VIII) eşitliği (VII) denkleminde kullanılırsa D(t) = 50·{ t + 10·[ 1 - v(t) / 50 ] } - 500
D(t) = 50·t + 500 - 10·v(t) - 500
D(t) = 50·t - 10·v(t)....(IX)

Not: t = 2 saniye için v(2) ≈ 9,063 m / s olduğundan D(2) ≈ 50·2 - 10·9,063 ≈ 9,37 metre olduğu bu fonksiyonla da bulunabilmektedir.

Sorunun Aslı ve Çözüm Açıklaması:

https://i.ibb.co/C3z9kXkS/UAkron.png
https://wetalldid.wordpress.com/wp-...000-differential-equations-curtis-clemons.pdf
(Son sorunun a ve b şıkları)