Çözüldü Eğik Düzlem - Dinamik - Trigonometrik Denklem

University of British Columbia - CA Lisans Düzeyi Mühendislik Derneği'nin fizik ara sınavları hazırlık sorularından fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/eikdzz10.png

Mavi ve sarı renkli kütleler sırasıyla 30 kg ile 40 kg, eğik düzlemin iki yüzeyindeki statik sürtünme katsayısı da 0,2 ise sistemin hareketsizliğini sağlayan en küçük α açısı kaç radyandır?

Ortamdaki yer çekimi ivmesi (g), halattaki gerilme kuvveti (T), mavi ve sarı renkli kütleler sırasıyla (A) ile (B), bu kütlelere yüzeylerden etkiyen normal kuvvetler sırasıyla (NA) ve (NB) olarak gösterilip, α açısının azalışına bağlı hareket yönü de sağa doğru kabul edilirse,
T - 0,2·NA - 30·g·sin(α) = 0....(I)
-T - 0,2·NB + 40·g·sin(30°) = 0....(II)
NA = 30·g·cos(α)....(III)
NB = 40·g·cos(30°)....(IV)
(I) ve (II) taraf tarafa toplanarak düzenlenirse NA + NB = 5g·[ 20 - 30·sin(α) ] = 50g·[ 2 - 3·sin(α) ]....(V)
(III) ve (IV) taraf tarafa toplanarak düzenlenirse NA + NB = 10g·[ 3·cos(α) + 2·√3 ]....(VI)
(V) ve (VI) eşitliklerinden basit ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev olarak (10 - 2√3) / 3 = cos(α) + 5·sin(α)....(VII)
y = (10 - 2√3) / 3....(VIII) ve 5 = tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)....(IX) ⇒ cos(θ) = 5 / √26 değişken dönüşümleriyle (VII) denklemi
sin(α + θ) = (y / 5)(5 / √26) = y / √26
α + θ = arcsin(y / √26)
α = arcsin(y / √26) - arccot(5) eşitliğinde (VIII) eşitliği kullanılıp,
α = arcsin[ (10 - 2·√3) / (3·√26) ] - arccot(5) <=== İstenen sonuç
α = 13,98418...° ≈ 14°

WolframAlpha Kontrolları:
https://www.wolframalpha.com/input?i=arcsin[ (10 - 2√3) / (3√26) ] - arccot(5)
https://www.wolframalpha.com/input?i=convert 0.2440700760501261762012017174491247609367612256038366143476211646 radians to degree

Sorun Aslı ve Gereksiz Olarak Yer Çekimi İvmesi de İşleme Alınıp Tamamı Gösterilmemiş Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/eikdzz11.png
https://static1.squarespace.com/sta...1/PHYS_170_Midterm_Review_Solutions_24-25.pdf
(Sayfa 3, Soru 2)