Çözüldü Euler-Cauchy Dif. Denklemi-Wronskian Determinantı-Sabitin Değişimi ve Belirsiz Katsayılar Yöntemi

University of Houston'dan:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/housto10.png
https://www.math.uh.edu/~jiwenhe/math3331/lectures/midterm1sps.pdf
(Sayfa 11, Soru 10)

Değişken Dönüşümü ve Belirsiz Katsayılar Yöntemi ile Çözüm:
t = e^x....(I) ⇒ y' = [ e^(-x) ]·y'(x)....(II) ⇒ y'' = [ e^(-2x) ]·[ y''(x) - y'(x) ]....(III)
(II) ve (III) dönüşümleriyle denklem sabit katsylı ikinci mertebe lineer diferansiyel denklem haline gelip;
y'' + 2y''- 3y' = e^(-x)
Karakteristik Denklem: r^2 + 2r - 3 = 0 ⇒ r1 = -3 ve r2 = 1 köklerine göre Homojen Çözüm:
C1, C2, A ∈ R olmak üzere,
yh(x) = C1·(e^x) + C2·[ e^(-3x) ]....(IV)
Sağ Taraflı Özel (particular) Çözüm:
yö(x) = A·[ e^(-x) ] eşitliğinden türev fonksiyonları y'(x) = -A·[ e^(-x) ] ve y''(x) = A·[ e^(-x) ] olarak denklemdeki yerlerine yazılıp;
A·[ e^(-x) ] - 2A·[ e^(-x) ] - 3A·[ e^(-x) ] = e^(-x) ⇒ A = -1 / 4 ⇒ yö(x) = -[ e^(-x) ] / 4....(V)
(IV) ve (V) toplanarak x değişkenine bağlı tam çözüm;
y = C1·(e^x) + C2·[ e^(-3x) ] - [ e^(-x) ] / 4 ve (I) dönüşümünden t değişkenine geçilerek;
y = C1·t + C2 / (t^3) - 1 / (4t).