Çözüldü Euler - Cauchy Diferansiyel Denklemi

Euler - Cauchy Diferansiyel Denklemi.
x = e^t ⇒ dx / dt = e^t ⇒ dt / dx = e^(-t)
---Bu bölümün gösterilmesi gerekmez ve sadece (I) ile (II) dönüşümlerinin yazılıp çözüme geçilmesi yeter.
y'(x) = dy / dx = (dy / dt)(dt / dx) = [ e^(-t) ]·(dy / dt) = [ e^(-t) ]·y'(t)....(I)
y''(x) = (d / dt)·(y')·(dt / dx) = { (d / dt)·[ e^(-t) ]·(dy / dt) }·[ e^(-t) ] =
{ -[ e^(-t) ]·[ y'(t) ] + [ e^(-t) ]·[ y''(t) ] }·[ e^(-t) ] =
[ e^(-2t) ]·[ y''(t) ] - [ e^(-2t) ]·[ y'(t) ] =
[ e^(-2t) ]·[ y''(t) - y'(t) ]....(II)
---
(I) ve (II) dönüşümlerinden sonra denklemin yeni hali;
[ e^(2t) ]·[ e^(-2t) ]·[ y''(t) - y'(t) ] + 4(e^t)·[ e^(-t) ]·y'(t) + 2y = (e^t)·cos[ ln(e^t) ] = (e^t)·cos(t)
y'' + 3y' + 2y = (e^t)·cos(t)....(III) olarak ikinci mertebeden sabit katsayılı lineer diferansiyel denkleme indirgenerek
karakteristik polinom ve kökleri r^2 + 3r + 2 = 0 ⇒ r1 = -1, r2 = -2
yh(t) = C1·[ e^(-t) ] ] + C2·[ e^(-2t) ]....(IV)
yö(t) = (e^t)·[ A·cos(t) + B·sin(t) ]....(V) özel çözüm denkleminden türevler alınıp;
y' = (e^t)·[ A·cos(t) + B·sin(t) ] + (e^t)·[ -A·sin(t) + B·cos(t) ] = (e^t)·[ (A + B)·cos(t) + (B - A)·sin(t) ]....(VI)
y'' = (e^t)·[ (A + B)·cos(t) + (B - A)·sin(t) ] + (e^t)·[ -(A + B)·sin(t) + (B - A)·cos(t) ]
y '' = 2(e^t)·[ B·cos(t) - A·sin(t) ]....(VII)
(VII), (VI), (V) eşitlikleri (III) denklemindeki yerlerine yazılıp,
2(e^t)·[ B·cos(t) - A·sin(t) ] + 3(e^t)·[ (A + B)·cos(t) + (B - A)·sin(t) ] + 2(e^t)·[ A·cos(t) + B·sin(t) ] = (e^t)·cos(t)
2B·cos(t) - 2A·sin(t) + 3(A + B)·cos(t) + 3(B - A)·sin(t) + 2A·cos(t) + 2B·sin(t) = cos(t)
(2B + 3A + 3B + 2A)·cos(t) + (-2A + 3B - 3A + 2B)·sin(t) = cos(t)
(5A + 5B)·cos(t) + (-5A + 5B)·sin(t) = cos(t)
5A + 5B = 1 ve -5A + 5B = 0 denklemleri çözülürse A = B = 1 / 10 katsayılarıyla özel çözüm,
yö(t) = (1 / 10)·(e^t)·[ cos(t) + sin(t) ]....(VIII)
(IV) ve (VIII) toplanarak t değişkenine bağlı tam çözüm,
y(t) = yh(t) + yö(t) = C1·[ e^(-t) ] ] + C2·[ e^(-2t) ] + (1 / 10)·(e^t)·[ cos(t) + sin(t) ]....(IX)
x = e^t eşitliğinden x değişkenine geri dönülerek,
y(x) = C1 / x + C2 / x^2 + (x / 10)·{ cos[ ln(x) ] + sin[ ln(x) ].

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2*y''+ 4xy' + 2y = x*cos(log(x))