Çözüldü Has Olmayan (Improper) İntegral, Kısmi İntegrasyon, 0·∞ Belirsizliği, L'Hospital Kuralı

YKS kapsamında yok.


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/improp17.png
https://www.facebook.com/photo/?fbid=1402580893571374&set=gm.2653180651486128

(alt sınır x1 = -∞, üst sınır x2 = 2), ∫ x·e^x dx =
lim (t → -∞) (alt sınır x1 = t, üst sınır x2 = 2), ∫ x·e^x dx integralinde x = u ⇒ dx = du ve e^x dx = dv ⇒ e^x = v değişken dönüşümleriyle ∫ udv = u·v - ∫ vdu genel kısmi integrasyon yapısına göre;
lim (t → -∞) (alt sınır x1 = t, üst sınır x2 = 2), ∫ x·e^x dx =
lim (t → -∞) (alt sınır x1 = t, üst sınır x2 = 2), |x·e^x - ∫ e^x dx| =
lim (t → -∞) (alt sınır x1 = t, üst sınır x2 = 2), |x·e^x - e^x| =
lim (t → -∞) (2e^2 - e^2 - t·e^t + e^t| =
e^2 + 0 - lim (t → -∞) t·e^t =
e^2 - lim (t → -∞) { t / [ e^(-t) ] } eşitliğindeki ikinci terimdeki belirsizliğin kaldırılması için L'Hospital Kuralı uygulanırsa;
e^2 - lim (t → -∞) 1 / [ -e^(-t) ] =
e^2 + lim (t → -∞) e^t =
e^2 + 0 =
e^2.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/improp18.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate xe^x dx from x=-infinity to 2