Çözüldü İkinci Derece İki Bilinmeyenli Denklemler - Parabol - Türev - Noktanın ve Doğrunun Analitiği

MEB AYT Hazırlık sorularından birinin hesap makinesi kullanımının da serbest olduğu fen lisesi klasik sınavı için zorlaştırılmış uyarlaması:

f(x) = 2x^2 + bx + c gerçel katsayılı parabol fonksiyonu apsisler eksenini f(0) ve f(-2) noktalarında kesiyorsa x = 1 noktasındaki teğetinin ordinat eksenini kestiği noktanın parabolün tepe noktasına uzaklığı kaç birimdir?
Not: Esas sonuç ondalıklı yazılmayacak.

f(0) = c = [ -b - (b^2 - 8c)^0,5 ] / 4 ⇒ 4c + b = -(b^2 - 8c)^0,5 ⇒ -b - 4c = (b^2 - 8c)^0,5....(I)
16c^2 + 8bc + b^2 = b^2 - 8c ⇒ b + 2c = -1....(II)
f(-2) = 8 - 2b + c = [ -b + (b^2 - 8c)^0,5 ] / 4 ⇒ -7b + 4c + 32 = (b^2 - 8c)^0,5....(III)
(I) ve (III) eşitliklerinden 4c + b = -32 + 9b - 4c ⇒ -3b + 4c = -16...(IV)
(II) ve (IV) denklemlerinden b = 14 / 5....(V) ve c = -19 / 10....(VI)
f(1) = 2 + b + c = 2 + 14 / 5 - 19 / 10 = 29 / 10 = 2,9
f '(1) = 34 / 5 = 6,8 <=== Teğetin Eğimi
Teğetin Denklemi: y - 2,9 = 6,8(x - 1) ⇒ y = 6,8x - 3,9
Teğetin Ordinat Eksenini Kestiği Noktanın Ordinatı: y = -3,9
Teğetin Ordinat Eksenini Kestiği Nokta: B(0, -39 / 10)
f(x) = 2x^2 + 14x / 5 ⇒ f '(x) = 4x + 14 / 5 = 0 ⇒ x = -7 / 10 <=== Ekstremum noktanın apsisi
f(-7 / 10) = 49 / 50 - 49 / 25 - 19 / 10 = -72 / 25 <=== Ekstremum noktanın ordinatı
Parabolün Tepe (Ekstremum) Noktası: C(-7 / 10, -72 / 25)
|BC| = [ (-7 / 10 - 0)^2 + (-72 / 25 + 39 / 10)^2 ]^0,5 = [ 49 / 100 + (51 / 50)^2 ]^0,5 = (√3826) / 50 birim (= 1,23709...)

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input?i=distance between (0, -39 / 10) and (-7 / 10, -72 / 25)

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/parab119.png

Sorunun Aslı:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/parab120.png
https://drive.google.com/drive/folders/1Te9n0eGETzC9qwmkkQqYDhKB-7bOYDzf
(MEB-AYT-10.pdf dosyasındaki 30. sayfada 37. soru, Yanıtlar: son sayfada)