Çözüldü İntegral Özel Dönüşümler

Sayın Cem Hocam, şöyle bir çözüm "bu problem için" o dönüşümlere göre sanki sonuca daha çabuk ulaşmayı sağlayabilir diye düşünüyorum:

Pay ve payda cosx ile bölünürse; ∫ [ (5 - 2tanx) / (5tanx - 2) ]·{ [ 1 + (tanx)^2 ]dx / [ 1 + (tanx)^2 ] }
tanx = u ⇒ [ 1 + (tanx)^2 ]dx = du değişken dönüşümleriyle;
∫ { [ (5 - 2u) / (5u - 2) ] }du / (1 + u^2)....(I)
(-2u + 5) / [ (5u - 2)·(1 + u^2) ] ≡ A / (5u - 2) + (B·u + c) / (u^2 + 1)....(II)
-2u + 5 ≡ Au^2 + A + 5Bu^2 + 5Cu - 2BU - 2C
-2u + 5 ≡ (A + 5B)u^2 + (5C - 2B)u + A - 2C
A + 5B = 0....(III)
-2B + 5C = -2....(IV)
A - 2C = 5....(V)
(IV) ve (V) denklemlerinden 5A - 4B = 21....(VI) bulunup (III) ve (VI) çözülürse B = - 21 / 29....(VII) ve A = 105 / 29....(VIII) bulunur.
(VIII) değeri (V) denkleminde kullanılırsa C = -20 / 29....(IX) bulunur.
A, B, C değerlerine göre (I) integrali (II) halinde basit kesirlere ayrılırsa;
∫ { [ (5 - 2u) / (5u - 2) ] }du / (1 + u^2) = (105 / 29) ∫ du / (5u - 2) + ∫ [ (-21u / 29 - 20 / 29 ] / (u^2 + 1) =
(105 / 29) ∫ du / (5u - 2) - (21 / 29) { ∫ [ u + (20 / 21) ]du / (u^2 + 1) } =
(105 / 29) ∫ du / (5u - 2) - (21 / 58)·{ ∫ 2udu / (u^2 + 1) + ∫ [ 40 / 21(u^2 + 1) ] } =
(105 / 29) ∫ du / (5u - 2) - (21 / 58)·{ ∫ 2udu / (u^2 + 1) ] + ∫ [ 40du / 21(u^2 + 1) ] } =
(21 / 29) ∫ 5du / (5u - 2) - (21 / 58)·{ [ ∫ 2udu / (u^2 + 1) ] + ∫ 40du / 21(u^2 + 1) } =
(21 / 29)·ln(5u - 2) - (21 / 58)·ln(u^2 + 1) - (20 / 29)·arctan(u) + C =
(21 / 29)·{ ln[ (5u - 2) / √ (u^2 + 1) ] } - (20 / 29)·arctan(u) + C =
(21 / 29)·ln{ (5tanx - 2) / √ [ (tanx)^2 + 1 ] } - (20 / 29)·arctan[ tan(x) ] + C
(secx)^2 = 1 / (cosx)^2 = (tanx)^2 + 1 özdeşliği kullanılarak sadeleştirilirse (bu ara işlemler konuya yeni başlamış öğrenci üyelere alıştırma olarak bırakıldı);
(1 / 29)·[ 21·ln(5sinx - 2cosx) - 20x ] + C

WolframAlpha Kontrolu:

http://i1224.photobucket.com/albums/ee362/vmhugo/Forum Pictures/WA_7.png
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate ((5cosx-2sinx)/(5sinx-2cosx))dx