Çözüldü İntegral - Türev - Parabol - Doğrunun Analitiği - Üçgende Alan

Dartmouth College ders notlarından bir sorunun biraz zorlaştırılmış AYT uyarlaması:

İkinci türevi çift ve ordinat eksenini de +2 noktasında keserek (1 / 2, 5) noktasından geçen bir parabol olan ve (0, -2) noktasındaki eğimi 5 olan fonksiyonun o noktadaki teğetinin eksenlerle arasında kalan kapalı alan kaç birim karedir?

f ''(x) = ax^2 + bx + c parabolü çift ise b = 0 ve f ''(0) = 2 = 0 + 0 + c olarak f ''(x) = ax^2 + 2,
f ''(1 / 2) = a / 4 + 2 = 5 ⇒ a = 12 ⇒ f ''(x) = 12x^2 + 2
f '(x) = ∫ (12x^2 + 2) dx = 12x^3 / 3 + 2x + C1
f '(0) = 5 = 0 + 0 + C1 ⇒ C1 = 5 ⇒ f '(x) = 12x^3 / 3 + 2x + 5
f(x) = ∫ (12x^3 / 3 + 2x + 5) dx = x^4 + x^2 + 5x + C2
-2 = 0 + 0 + C2 ⇒ C2 = -2 ⇒ f(x) = x^4 + x^2 + 5x - 2
(0, -2) noktasından geçen ve eğimi 5 olan y = 5x + n doğrusunun (f fonksiyonunun teğetinin) denklemi -2 = 0 + n ⇒ y = 5x - 2
Teğetin apsisler eksenini kestiği nokta 0 = 5x - 2 ⇒ x = 2 / 5
Teğetin eksenlerle arasında kalan kapalı dik üçgen alanı = |-2|·(2 / 5) / 2 = 2 / 5 Birim^2.

Grafik:

https://i.ibb.co/YFYzR6kw/T-rev3.png

Sorunun Aslı:
If f ''(x) = 12x^2 + 2 and the graph of y = f(x) passes through (0, −2) with a slope of 5, find f(x).
https://math.dartmouth.edu/~doyle/docs/calc/calc.pdf
(Sayfa 221, Soru 5, Yanıtlar yok)