Çözüldü İntegral ve Limit (8 Soru)

Kalan 6. ve 7. Soruları da yıllar sonra ziyaretçiler hangi sorulara bakıyorlar diye takibe başladığım için ancak bugün görebildiğimden ben yapayım:

6. Soru:
lim (x → 0) [ sin(α·x) ] / sin(β·x) = 0 / 0 Belirsizliği olduğundan;
lim (x → 0) [ sin(α·x) / (α·x) ]·(α·x) / { [ sin(β·x) / (β·x) ]·(β·x) } =
lim (x → 0) { [ sin(α·x) / (α·x) ] / [ sin(β·x) / (β·x) ] }·[ (α·x) / (β·x) ] =
1·(α / β) = α / β.
Bir test sınavında tabii ki L'Hospital kuralı uygulanmalıdır:
lim (x → 0) [ sin(α·x) ] / sin(β·x) = lim (x → 0) [ α·cos(α·x) ] / [ β·cos(β·x) ] = α·1 / (β·1) = α / β.
Not: Üçüncü bir yol olarak sin(α·x) ve sin(β·x) fonksiyonları MacLaurin serilerine açılarak yapılabilir. Sitede buna ilişkin çok örnek var. İlgilenen öğrencilere ödev.
---
7. Soru:
lim (x → 0) [ tan(x) - x ] / [ sin(x) - x ] limitindeki kesirde pay ve paydadaki tanjant ve sinüs fonksiyonları MacLaurin serilerine açılırsa;
lim (x → 0) (x + x^3 / 3 + ... - x) / (x - x^3 / 6 + ... - x) =
lim (x → 0) (x^3 / 3) / (-x^3 / 6) = -6 / 3 = -2.
Veya L'Hospital kuralı iki kez uygulanırsa
lim (x → 0) [ tan(x) - x ] / [ sin(x) - x ] =
lim (x → 0) { [ sec(x) ]^2 - 1 } / [ cos(x) - 1 ] = 0 / 0
lim (x → 0) { 2·[ sec(x) ]·[ sec(x) ]·[ tan(x) ] } / [ -sin(x) ] =
lim (x → 0) 2 / { -[ cos(x) ]^3 } = 2 / (-1) = -2.
---
Not: Sitemizin sahibi sayın Bora Üstadım'ın nezaketine, sabrına ve iyi niyetine hayranım çünkü sorular onun düzeltmediği asıl haliyle bana gönderilmiş olsaydı onları o halde foruma yollayan üyeyi ben de anında dışarı yollayıp önce DOĞRU yazmayı öğrenmesi gerektiğini söylerdim! Gerçek bir öğretmen olmadığımdan herhalde. Ama Allah aşkına biri bana söylesin, limit ve integral konularına gelmiş bir öğrenci bölme işaretini "\" olarak mı yazar yahu? Konuyu da sabitliyorum ki sitenin bu bölümüne bakanlar asıl problemin matematiksel okur-yazarlık olduğunu mutlaka görsünler!