Çözüldü İntegralin Temel Teoremi (YKS'de yok) - Doğal Logaritma - Türevin Geometrik Anlamı

University of Waterloo - CA'dan çözümlü bir problemin fen lisesi testi için biraz zorlaştırılmış uyarlaması

fonksiyonunun apsisi 1 olan noktasındaki teğetinin apsisler ekseniyle pozitif yönde yaptığı açı kaç radyandır?

A) π / 6
B) π / 4
C) π / 3
D) 2π / 3
E) 3π / 4

h(x) = [ alt sınır t1 = g(x), üst sınır t2 = k(x) ], ∫ f(t) dt ⇒ h '(x) = h[ k(x) ]·k '(x) - h[ g(x) ]·g '(x)
f(t) = 4^(t^2)
g(x) = √x ⇒ g '(x) = 1 / (2·√x)
k(x) = ln(x^3) = 3·ln(x) ⇒ k '(x) = 3 / x
h[ k(x) ] = 4^{ [ 3·ln(x) ]^2 }
h[ g(x) ] = 4^[ (√x)^2 ] = 4^x
Teğetin x = 1 noktasındaki eğimi h '(1) = 4^{ [ 3·ln(1) ]^2 }·(3 / 1) - (4^1)·1 / (2·√1) = (4^0)·3 - (4 / 2) = 3 - 2 = 1
Teğetin apsisler ekseniyle pozitif yönde yaptığı açı arctan(1) = 45° = π / 4 radyan.

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i.ibb.co/jZQHdKQt/Waterloo.png
https://www.math.uwaterloo.ca/~snew/math138-2024-F/Tests/MATH138-Midterm-Soln-F24.pdf
(Son sorunun a şıkkı)

Not: FTC ===> Fundamental Theorem of Calculus