Çözüldü Kare İçinde Uzunluk Optimizasyonu - Üçgende Minimum Çevre - Pisagor Teoremi - Türev

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/kare30.png
Dream Team Geometri 18-Kare
https://z-library.sk/book/6101216/12345b/dream-team-geometri-18kare.html
(Son soru, yanıtlar son sayfa nın sağ alt tarafında)

[AB] ve [AD] kenarlarına değme noktaları sırasıyla F ve G ise;

Geometrik Çözüm:
Toplamda en kısa yolun alınması için ΔEFG ikizkenar yani G noktası [AD] kenarının ortası olarak |AG| = |DG| = 3 / 2 birim ve böylece
|AF| = |DE| = 1 birim ⇒ |BF| = 3 - 1 = 2 birim ve Pisagor Teoremi gereğince,
(3^2 + 2^2)^0,5 + [ (3 - 2)^2 + (3 / 2)^2 ]^0,5 + [ 1^2 + (3 / 2)^2 ]^0,5 =
√13 + (√13) / 2 + (√13) / 2 =
2√13 birim.
---
İki Bilinmeyenli İkinci Derece Denklemle Türevli Çözüm:
(Sadece zamanı olan ve meraklı öğrenciler için olup bir test sınavında asla uygulanmamalı ve klasik bir sınavda kesin olarak türevle yapılacak diye emir verilirse)

|BF| = x birim, |AG| = y birim
Toplam Yol = f(x, y) = (3^2 + x^2)^0,5 + [ (3 - x)^2 + y^2 ]^0,5 + [ 1^2 + (3 - y)^2 ]^0,5

∂/∂x (3^2 + x^2)^0,5 + [ (3 - x)^2 + y^2 ]^0,5 + [ 1^2 + (3 - y)^2 ]^0,5 = 0
y^2 = 9(x - 3)^2 / x^2....(I) ⇒ y = 3|x - 3| / x ve x < 3 nedeniyle y = 3(3 - x) / x....(II)

∂/∂y (3^2 + x^2)^0,5 + [ (3 - x)^2 + y^2 ]^0,5 + [ 1^2 + (3 - y)^2 ]^0,5 = 0
y^2 / [ (3 - x)^2 + y^2 ] = (3 - y)^2 / (y^2 - 6y + 10)....(III)

(I) ve (II) eşitlikleri (III)'teki yerlerine yazılıp düzenlenerek çözülürse (ilgilenen öğrencilere ödev),
x = 1, y = 6 > 3 nedeniyle olamaz,
x = 2 ve y = 3 / 2
https://www.wolframalpha.com/input?i=y^2 / [ (3 - x)^2 + y^2 ] = (3 - y)^2 / (y^2 - 6y + 10), y^2 = 9(x - 3)^2 / x^2, y = 3(3 - x) / x

Minimum Toplam Yol = f(2, 3 / 2) = (3^2 + 2^2)^0,5 + [ (3 - 2)^2 + (3 / 2)^2 ]^0,5 + [ 1^2 + (3 - 3 / 2)^2 ]^0,5 = 2√13 birim.

Doğrudan WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input?i=Minimize sqrt(9+x^2)+sqrt((3-x)^2+y^2)+sqrt(1+(3-y)^2)