Çözüldü Karmaşık Sayılarda Euler Formülü ve Argüman - Üstel Sayılar - Trigonometri - Programlama

Bir kitaptaki sonucu yanlış verilmiş problemin fen lisesi için hesap makinesi kullanımının da serbest olduğu klasik sınav uyarlaması:

i^2 = -1 olmak üzere (2 + 5·i)^(1 / 2)·(-4 - 9·i)^(2 / 3) / (8·i - 3)^(4 / 5) sayısının;
a) modülünü aynı dereceli üstel sayı altındaki üstel sayıların çarpımı olarak yazınız,
b) argümanını mutlak değeri en küçük derece cinsinden bulunuz,
c) kartezyen formunu virgülden sonra iki basamak duyarlıkta gösteriniz,
d) bildiğiniz bir programlama dilinde daha fazla bir duyarlıkta yazdırılan kodlamasını veriniz.

(2 + 5·i)^(1 / 2) = [ (2^2 + 5^2)^(1 / 4) ]·e^{ i·[ (1 / 2)·arctan(5 / 2) ] } = [ 29^(1 / 4) ]·e^{ i·[ (1 / 2)·arctan(5 / 2) ] }....(I)
(-4 - 9·i)^(2 / 3) = { [ (-4)^2 + (-9)^2 ]^(1 / 3) }·e^{ i·(2 / 3)·[ arctan(9 / 4) - π ] }
(-4 - 9·i)^(2 / 3) = [ 97^(1 / 3) ]·e^{ i·[ (2 / 3)·arctan(9 / 4) - 2π / 3 ] }....(II)
(8·i - 3)^(4 / 5) = { [ 8^2 + (-3)^2 ]^(2 / 5) }·e^{ i·(4 / 5)·[ π - arctan(8 / 3) ] }
(8·i - 3)^(4 / 5) = [ 73^(2 / 5) ]·e^{ i·[ 4π / 5 - (4 / 5)·arctan(8 / 3) ] }....(III)
(I) ve (II) çarpılıp (III) ile bölündüğünde Modül: { [ 29^(1 / 4) ]·[ 97^(1 / 3) ] / [ 73^(2 / 5) ] } ve EKOK(3, 4, 5) = 60 olduğundan,

a) { (29^15)·(97^20)·[ 73^(-24) ] }^(1 / 60)....(IV)

b) Argümanı;
(1 / 2)·arctan(5 / 2) + (2 / 3)·arctan(9 / 4) - 2π / 3 - [ 4π / 5 - (4 / 5)·arctan(8 / 3) ] =
(1 / 2)·arctan(5 / 2) + (2 / 3)·arctan(9 / 4) - 2π / 3 - 4π / 5 + (4 / 5)·arctan(8 / 3) =
-{ 22π / 15 - [ (1 / 2)·arctan(5 / 2) + (2 / 3)·arctan(9 / 4) + (4 / 5)·arctan(8 / 3) ] } =
-{ (π + 7π / 15) - [ (1 / 2)·arctan(5 / 2) + (2 / 3)·arctan(9 / 4) + (4 / 5)·arctan(8 / 3) ] }....(V) ifadesindeki ters tanjant değerlerinin toplamı,
θ = (1 / 2)·arctan(5 / 2) + (2 / 3)·arctan(9 / 4) + (4 / 5)·arctan(8 / 3) ≈ 133,87° alındığında (IV) numaralı argüman,
WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input?i=convert ((2/3)*arctan(9/4)+(1/2)*arctan(5/2)+(4/5)*arctan(8/3)) radians to degree

-[ (π + 7π / 15) - θ ] = -[ π + (7π / 15 - θ) ] olup bu açının kosinüs ve sinüs değerleri;
cos{ -[ π + (7π / 15 - θ) ] } = cos[ π + (7π / 15 - θ) ] = -cos(7π / 15 - θ) = -cos(84° - 133,87°) = -cos(49,87°)....(VI)
sin{ -[ π + (7π / 15 - θ) ] } = -sin[ π + (7π / 15 - θ) ] = sin(7π / 15 - θ) = sin(84° - 133,87°) = -sin(49,87°)....(VII)

c) Sonuçtaki kompleks sayı: -{ (29^15)·(97^20)·[ 73^(-24) ] }^(1 / 60)·[ cos(49,87°) + i·sin(49,87°) ] ≈ -1,24 - i·1,46.
WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input?i=(2+5*i)^(1 / 2)*(-4-9i)^(2/3) / (-3+8i)^(4/5)

d) Fortran Çözümü:

https://i.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/komple29.png

Sorunun Aslı:

https://i.ibb.co/Tq2r6wCs/kompleks.png
https://1kitap1.com/wp-content/uploads/Ahmet Karadeniz Yüksek Matematik Problem Çözümleri Çağlayan Yayınları (1kitap1.com).pdf
(Son soru)