Çözüldü Lagrange Enterpolasyonu - Programlama - Belirsiz Katsayılar Kuralı - 4 Bilinmeyenli Lineer Denklem

Bir kitaptaki çözümlü problemin fen lisesi için ödev uyarlaması:

x_0, x_1, ..., x_n gibi n - 1 tane farklı noktaya karşılık gelen y_0, y_1, ..., y_n değerleri verildiğinde i = 0, 1, ..., n olmak üzere y_i'ye enterpole edilen n. veya daha az dereceli bir P(x) polinomu vardır ve bu polinom, en fazla n. dereceden polinomların kümesinde tektir. L_i(x) özel polinomu olmak üzere enterpolasyon polinomu ile belirlenir.

Bu bilgilere göre;
a) (x, f(x)) = { (0, 0), (1, 2), (2, 20), (3, 90), (4, 272) } koordinatlarından geçen eğrinin apsisi 2,5 olan noktasındaki f(2,5) ordinat değerini Lagrange Enterpolasyonuyla bulunuz
b) Bildiğiniz bir programlama dilinde o sonucu veren programı yazınız
c) Verilen koordinatlardan geçen 4. derece P(x) polinomunu Lagrange Enterpolasyonu ile bulunuz ve aynı polinomu belirsiz katsayılar yöntemi ile de belirleyerek doğrulayınız.

f(2,5) ≈
{ (2,5 - 1)(2,5 - 2)(2,5 - 3)(2,5 - 4) / [ (0 - 1)(0 - 2)(0 - 3)(0 - 4) ] }·0 +
{ (2,5 - 0)(2,5 - 2)(2,5 - 3)(2,5 - 4) / [ (1 - 0)(1 - 2)(1 - 3)(1 - 4) ] }·2 +
{ (2,5 - 0)(2,5 - 1)(2,5 - 3)(2,5 - 4) / [ (2 - 0)(2 - 1)(2 - 3)(2 - 4) ] }·20 +
{ (2,5 - 0)(2,5 - 1)(2,5 - 2)(2,5 - 4) / [ (3 - 0)(3 - 1)(3 - 2)(3 - 4) ] }·90 +
{ (2,5 - 0)(2,5 - 1)(2,5 - 2)(2,5 - 3) / [ (4 - 0)(4 - 1)(4 - 2)(4 - 3) ] }·272 =

0 - 0,3125 + 14,0625 + 42,1875 - 10,625 = 45,3125.

Fortran Uygulaması:
("Mühendislikte ve Matematikte BASIC ile Akış Diyagramlı 90 Program" Mete Karakoç, Yıldız Üniversitesi Öğretim Görevlisi, 1986, Teknik Kitaplar Yayınevi, Sayfa 65, Program 41'in Fortran diline uyarlanmış versiyonudur.)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/lagran13.png

Polinom:
P(x) =
{ (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) / [ (0 - 1)(0 - 2)(0 - 3)(0 - 4) ] }·0 +
{ (x - 0)(x - 2)(x - 3)(x - 4) / [ (1 - 0)(1 - 2)(1 - 3)(1 - 4) ] }·2 +
{ (x - 0)(x - 1)(x - 3)(x - 4) / [ (2 - 0)(2 - 1)(2 - 3)(2 - 4) ] }·20 +
{ (x - 0)(x - 1)(x - 2)(x - 4) / [ (3 - 0)(3 - 1)(3 - 2)(3 - 4) ] }·90 +
{ (x - 0)(x - 1)(x - 2)(x - 3) / [ (4 - 0)(4 - 1)(4 - 2)(4 - 3) ] }·272 =

0 +
(-x^4 / 3 + 3x^3 - 26x^2 / 3 + 8x) +
(5x^4 - 40x^3 + 95x^2 - 60x) +
(-15x^4 + 105x^3 - 210x^2 + 120x) +
(34x^4 / 3 - 68x^3 + 374x^2 / 3 - 68x)

P(x) = x^4 + x^2.

"Sayısal Analiz", Prof.Dr. Behiç Çağal, SEÇ Yayın Dağıtım, Ekim 1989, Sayfa 96 - 101

Belirsiz Katsayılar Yöntemi ile Polinomun Bulunuşu:
P(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e
P(0) = 0 ⇒ e = 0
P(1) = 2 = a + b + c + d....(I)
P(2) = 20 = 16a + 8b + 4c + 2d....(II)
P(3) = 90 = 81a + 27b + 9c + 3d....(III)
P(4) = 272 = 256a + 64b + 16c + 4d....(IV)
(I), (II), (III), (IV) denklemleri ilgilenen öğrencilere ödev olarak çözülürse (gerçek ödevde sadece a, b, c, d katsayıları değil çözümün aşamaları da gösterilecek), a = 1, b = 0, c = 1, d = e = 0 olarak polinom P(x) = x^4 + x^2.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/lagran14.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=2 = a + b + c + d, 20 = 16a + 8b + 4c + 2d, 90 = 81a + 27b + 9c + 3d, 272 = 256a + 64b + 16c + 4d