Çözüldü Modüler Aritmetik - Programlama

Öğrencilere sorduğum bir soru:

71!, 83'e bölündüğünde kalan kaçtır?

Şöyle yaptım sayın Cem Hocam;

71! ≡ x(Mod 83)
83 asal sayı olduğundan Wilson Teoremi gereğince (83 - 1)! ≡ (-1)(Mod 83)
82! ≡ (-1)(Mod 83)
71!·72·73· ... ·82 ≡ (-1)(Mod 83)
71!·(-11)·(-10)· ... ·(-1) ≡ (-1)(Mod 83)
71!·(-11!)≡ (-1)(Mod 83)
71!·11! ≡ 1(Mod 83)
71!·39916800 ≡ 1(Mod 83)....(I)
39916800 = 83·480925 + 25 olduğundan 39916800 ≡ 25(Mod 83)....(II)
(II)'deki kalan değeri olan 25, (I) denkliğine taşınarak; 71!·25 ≡ 1(Mod 83)
71! ≡ ( 25^(-1) )(Mod 83) ifadesi 25x ≡ 1(Mod 83)....(III) modüler denklemin çözümüne denk olduğundan ve 3·83 + 1 = 250 = 25·10 olması nedeniyle 25·10 ≡ 1(Mod 83)....(IV)
(III) ve (IV) denkliklerinden x = 10.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/modzle14.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=71! ≡ 10(Mod 83)

Kaynaklar:
http://mathonline.wikidot.com/examples-of-finding-remainders-using-wilson-s-theorem (Example 3, Euclid Algoritması uygulanmadan)
http://mathcenter.oxford.emory.edu/site/math125/probSetWilsonsTheorem/ (Exercise 1)

Bilgisayar programlama (kodlama) öğrenmeyi düşünen öğrenciler için Fortran uygulaması:

https://i.ibb.co/kVJSxChR/Factorial-Fortran.png