Çözüldü Noktanın ve Doğrunun Analitiği - Türev - 2. Derece 2 Bilinmeyenli Denklem

Washington University - St. Louis'den çözümlü bir problemin fen lisesi klasik sınavı için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:

Asal ekseni ordinat ekseni üzerinde 4·√2 birim uzunluğunda olan ve (1, -2) noktasından geçen merkezil elipsin o noktadaki teğetiyle arasında kalan kapalı bölgelerin alanları toplamının kaç birim kare olduğunu türev kullanmadan bulunuz ve yalnızca integral ifadelerini yazarak ama integral işlemlerini yapmadan gösteriniz. Tüm bilgileri içeren grafiği de çizerek üzerinde o alanları taralı şekilde belirtiniz.

Asal eksen uzunluğu 2a birim ve 2a = 4·√2 ⇒ a = 2·√2 birim
1^2 / b^2 + (-2)^2 / (2·√2)^2 = 1 ⇒ b^2 = 2 birim^2
Elipsin denklemi: x^2 / 2 + y^2 / 8 = 1 ⇒ 4x^2 + y^2 = 1....(I)
m, n ∈ R ve teğet denklemi: y = m·x + n olup (1, -2) noktasından geçtiği için -2 = m + n....(II)
Elipsle teğetin kesiştirilmesi için (I) eşitliğindeki yerine yazılıp kuadratik denklem formunda düzenlenirse;
(4 + m^2)·x^2 + 2·m·n·x + n^2 - 8 = 0 ve teğetlik için yarım diskriminant sıfıra eşitlendiğinde,
(m·n)^2 - (4 + m^2)(n^2 - 8) = 0 ⇒ 2m^2 - n^2 = -8....(III)
(II) ve (III) numaralı eşitliklerden oluşan denklem çözülünce (m - 2)^2 = 0 ⇒ m = 2....(IV)
(IV) değeri (II) eşitliğindeki yerine yazılıp n = -4....(V)
(IV) ve (V) katsayılarına göre teğet denklemi y = 2x - 4
Elipsin dörtte birlik alanı: π·a·b / 4
Elipsin teğetiyle arasında Dördüncü Bölgede kalan kapalı alanların toplamı: 2·4 / 2 - π·(2·√2)·√2 / 4 = 4 - π birim^2 ≈ 0,8584

İntegral Çözümleri (Nasıl yazıldığını anlayıp çözmek ilgilenen ve zamanı olan öğrencilere ödev):

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/wustl_10.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs(∫ (-sqrt(8-4x^2)-(2x-4)) dx from x = 0..1)


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/wustl_11.png
https://www.wolframalpha.com/input?... - ∫ (-sqrt(8-4x^2)) dx from x = 1..sqrt(2) |

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/elips810.png

Sorunun Aslı ve Türevle Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/wustl11.png
https://wustl.app.box.com/embed/s/whgujg3fsnfi87cbsedl675mf6qxd8oc/folder/4678396782
(Sayfa 10, Soru 12)