Çözüldü Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu - İntegral

Hacettepe Üniversitesi'nden çözümsüz ama yanıtlı bir sorunun fen lisesi için test ve klasik sınav uyarlaması:


https://i.ibb.co/nMCNdL06/pdf.png

Yukarıdaki sorunun cevabını seçeneklerden giderek ve gerekçesiyle veriniz, sonucun doğruluğunu da işlemle gösteriniz.

Sürekli şans değişkenlerinin Olasılık Yoğunluk Fonksiyonunun (Probability Density Function) tanım aralığındaki integrali 1'e eşittir. A ve D şıklarındaki fonksiyonların integrali zaten 1'den farklıdır. B şıkkındaki fonksiyonun integrali y = 0 için tanımsızdır. C ve E şıklarındaki fonksiyonların (0, 1] için integralleri alındığında sırasıyla 1 ve 3 / 4 olup doğru yanıt C'dir.

WolframAlpha Kontrolları:
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate 8ydy/(y+1)^3 from y=0..1
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate 2dy/(y+1)^3 from y=0..1

Not: İntegral işlemlerini yapmak ilgilenen öğrencilere ödev.

Sorunun Aslı:
https://aktuerya.hacettepe.edu.tr/duyurular/Soru-Ol-Ist.pdf
(Soru 1, Yanıtlar son sayfada)

Zamanı olan ve meraklı öğrenciler için akademik çözüm:
y = 1 / (x - 1) ⇒ x = 1 / y + 1....(I) ⇒ dx / dy = -1 / y^2 ⇒ |dx / dy| = 1 / y^2....(II)
f(y) = f(x)·|dx / dy|....(III)
(I) dönüşümüne göre (III) eşitliğindeki f(x) fonksiyonu f(x) = f(1 + 1 / y) = 8 / (1 + 1 / y)^3 = 8y^3 / (y + 1)^3....(IV)
(IV) ve (II) ifadeleri (III) eşitliğindeki yerlerine yazılınca f(y) = [ 8y^3 / (y + 1)^3 ]·(1 / y^2) = 8y / (y + 1)^3.