Soru Paralelkenarda Uzunluk-Üçgende Alan-Trigonometri-Pisagor Teoremi (Soru mu yoksa çözüm mü hatalı)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/parale26.png
Dream Team Geometri 15-Paralelkenar
https://z-library.sk/book/6101143/817128/dream-team-geometri-15paralelkenar.html
(Son soru, yanıtlar son sayfanın sağ alt tarafında)

F noktasından [AB]'ye çizilen paralelin [AD] ve [BC] kenarlarını kestiği noktalar sırasıyla: G ve H
F noktasından [BC]'ye çizilen paralelin [AB]'yi kestiği nokta: P
∡ABF = ∡PBF = ∡FBK = ∡FBC = θ
Paralelkenarda komşu iki açının kenarortayları arasındaki açı 90° olduğundan [CF] doğru parçası C köşesindeki açının açıortayıdır.
∡DCF = ∡FCK = ∡FCB = ∡BFK = 90° - θ ⇒ ∡CFK = θ
∡BFK = 90° - θ olduğundan FKB = 90° ve FKB Dik üçgeninde tan(θ) = 4 / 2 = 2 / 1
sin(θ) = 2 / [ (2^2 + 1^2)^0,5 ] = 2 / √5....(I), cos(θ) = 1 / [ (2^2 + 1^2)^0,5 ] = 1 / √5....(II)
CKF Dik üçgeninde tan(θ) = |CK| / 4 ⇒ |CK| = 4·2 = 8 birim ve Pisagor Teoremi gereğince |CF| = (4^2 + 8^2)^0,5 = 4√5 birim
BKF Dik üçgeninde Pisagor Teoremi gereğince |BF| = (4^2 + 2^2)^0,5 = 2√5 birim
∡EAB = ∡EGF = 180° - 2θ ⇒ ∡EFG = 90° - (180° - 2θ) = 2θ - 90° = ∡HFK
FKH Dik üçgeninde cos(2θ - 90°) = 4 / |FH| ⇒ |FH| = 4 / sin(2θ) = 2 / [ sin(θ)·cos(θ) ]....(III)
(I) ve (II) değerleri (III)'te kullanılınca |FH| = 2 / [ (2 / √5)(1 / √5 ] = 5 birim ⇒ |HK| = (5^2 - 4^2)^0,5 = 3 birim
|BP| = 5 birim
|AP| = |FG| = y birim
ΔEFG ~ ΔFHK ⇒ x / 4 = |EG| / 3 ⇒ |EG| = 3x / 4....(IV)
FEG Dik üçgeninde sin(180° - 2θ) = x / y ⇒ y = x / sin(2θ) = x / [ 2·sin(θ)·cos(θ) ] eşitliğinde yine (I) ve (II) değerleri yerlerine yazılıp,
y = x / [ 2·(2 / √5)·(1 / √5) ] = 5x / 4....(V)
C noktasından [AB['ye indirilen yüksekliğin [AB['yi kestiği nokta T ise BTC dik üçgeninde,
sin(180° - 2θ) = |CT| / (8 + 2) ⇒ |CT| = 10·sin(2θ) = 10·[ 2·(2 / √5)·(1 / √5) ] = 8 birim
Alan(ΔBCG) = (1 / 2)·Alan(ABCD Paralelkenarı)
(8 + 2)·(x + 4) / 2 = (1 / 2)·(x + 5x / 4)·8
5(x + 4) = 4·(9x / 4)
5x + 20 = 9x
20 = 4x
x = 5 birim.

Notlar:
x = 5 birim ise |CF| = 4·√5 birim, |BF| = 2·√5 birim, y = |AP| = |FG| = 25 / 4 birim, |EG| = 15 / 4 birim, |FP| = |BH| = 5 birim
BHFP Eşkenar Dörtgen, |AB| = |CD| = 5 + 25 / 4 = 45 / 4 birim