Çözüldü Tam Diferansiyel Tip Denklemler

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/exactd11.jpg
https://www.facebook.com/photo/?fbid=10226737976914689&set=g.310768207291838

Not: Aşağıdaki çözümde bazı parantezler gereksizdir.

(dx / dy)·[ x + e^(x / y) ] + [ e^(x / y) ]·(1 - x / y) = 0....(I)
x = u·y ⇒ dx = u·dy + y·du ⇒ dx / dy = u + y·(du / dy)....(II)
(II) dönüşümüyle (I) denkleminden [ u + y·(du / dy) ](u·y + e^u) + (e^u)·(1 - u) = 0
u^2·y + u·(e^u) + u·y^2·(du / dy) + y·(e^u)·(du / dy) + e^u - u·(e^u) = 0
[ u·y^2 + y·(e^u) ]·(du / dy) + u^2·y + e^u = 0
[ u·y^2 + y·(e^u) ]·du + (u^2·y + e^u)·dy = 0....(III)
(III) denkleminde M(u, y) = u·y^2 + y·(e^u) ve N(u, y) = u^2·y + e^u yazılıp diğer diferansiyel değişkenine göre kısmi türevler alınınca;
∂M / ∂y = u·2y + e^u ve ∂N / ∂u = 2u·y + e^u kısmi türev fonksiyonlarının eşitliği nedeniyle denklem tam diferansiyel (exact differential) olduğundan c sabit bir sayı olmak üzere genel çözümü p(x, y) = c olup,
M(u, y) = ∂p / ∂u = u·y^2 + y·(e^u) ⇒ p(u, y) = ∫ [ u·y^2 + y·(e^u) ] du + F(y) = u^2·y^2 / 2 + y·(e^u) + F(y) ve y değişkenine göre türev alınıp N(u, y) ifadesine eşitlenince k ∈ R olarak u^2·y + e^u + F '(y) = u^2·y + e^u ⇒ F '(y) = 0 ⇒ F(y) = k
p(u, y) = u^2·y^2 / 2 + y·(e^u) + k
u^2·y^2 / 2 + y·(e^u) = c....(IV)
(x / y)^2·y^2 / 2 + y·e^(x / y) = c
x^2 / 2 + y·e^(x / y) = c genel çözümünden 0^2 / 2 + 2·e^(0 / 2) = c ⇒ 2 = c ve özel çözüm (x / y)^2·y^2 / 2 + y·e^(x / y) = 2.

Not: a, b, c1, c ∈ R olmak üzere (IV) genel çözümü Prof.Dr. Ahmet A. Karadeniz'in "Yüksek Matematik Cilt - 3", Aralık 1983, Üçüncü Baskı kitabının 28. sayfasında gösterdiği gibi şöyle de bulunabilir;







p(u, y) = u^2·y^2 / 2 + y·(e^u) - a^2·y^2 / 2 - y·(e^a) + a^2·y^2 / 2 + y·(e^a) - a^2·b^2 / 2 - (e^a)·b
p(u, y) = u^2·y^2 / 2 + y·(e^u) = c1 + a^2·b^2 / 2 - (e^a)·b
u^2·y^2 / 2 + y·(e^u) = c.