Çözüldü Ters Trigonometrik Fonksiyonlu İntegralde Değişken Dönüşümü - Kısmi İntegrasyon (YKS'de Yok)

Koç Üniversitesi'nde langır lungur ezbere çözülmüş bir integral sorusu: ∫ x·arcsin(2x) dx = ?

Çözüm - 1:
y = arcsin(2x) ⇒ sin(y) = 2x ⇒ (1 / 2)·cos(y)dy = dx, cos(2y) = 1 - 2·[ sin(y) ]^2 = 1 - 8x^2
∫ x·arcsin(2x) dx = (1 / 2)·∫ sin(y)·y·(1 / 2)·cos(y) dy = (1 / 8)·∫ y·sin(2y) dy....(I)
(I) integralinde u = y ⇒ du = dy ve ∫ sin(2y) dy = ∫ dv ⇒ v = (-1 / 2)·cos(2y) dönüşümleriyle kısmi integrasyon yapısına göre (I) integrali;
(1 / 8)·[ (-y / 2)·cos(2y) + (1 / 2)·∫ cos(2y) dy ] =
(-y / 16)·cos(2y) + (1 / 32)·sin(2y) + C olup x değişkenine geri dönülerek;
-(1 / 16)·[ arcsin(2x) ]·(1 - 8x^2) + (1 / 32)·4x·[ (1 - 4x^2)^0,5 ] + C =
(x^2 / 2)·arcsin(2x) - (1 / 16)·arcsin(2x) + (x / 8)·[ (1 - 4x^2)^0,5 ] + C olup biraz daha düzenlenirse,
[ (8x^2 - 1) / 16 ]·arcsin(2x) + (x / 8)·[ (1 - 4x^2)^0,5 ] + C.

WolframAlpha Kontrolu: (Yukarıdaki sonucun türevinin alınarak doğrulanmasıyla)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/integ114.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=(((8x^2-1)*arcsin(2x))/16+(x/8)*sqrt(1-4x^2))'

Çözüm - 2:
xdx = dv ⇒ v = x^2 / 2 ve u = arcsin(2x) ⇒ du = 2dx / [ (1 - 4x^2)^0,5 ] dönüşümleriyle kısmi integrasyona geçilip;
∫ x·arcsin(2x) dx = (x^2 / 2)·arcsin(2x) - ∫ x^2 dx / (1 - 4x^2)^0,5....(I) ifadesindeki integralin çözümü için,
x = (1 / 2)·sin(y) ⇒ sin(y) = 2x, dx = (1 / 2)·cos(y) dy, 4x^2 = [ sin(y) ]^2 dönüşümlerinden sonra düzenlenip sadeleştirilen integralin yeni şekli (1 / 8)·∫ [ sin(y) ]^2 dy = (1 / 8)·∫ (1 / 2)·[ 1 - cos(2y) ] dy =
(1 / 16)·∫ dy - (1 / 16)·∫ cos(2y) dy =
y / 16 - (1 / 32)·sin(2y) + C ve x değişkenine geri dönülünce,
(1 / 16)·arcsin(2x) - (1 / 32)·2·2x·[ (1 - 4x^2)^0,5 ] + C =
(1 / 16)·arcsin(2x) - (x / 8)·[ (1 - 4x^2)^0,5 ] + C....(II)
(II) sonucu (I) eşitliğine götürülüp,
∫ x·arcsin(2x) dx = (x^2 / 2)·arcsin(2x) - (1 / 16)·arcsin(2x) + (x / 8)·[ (1 - 4x^2)^0,5 ] + C
∫ x·arcsin(2x) dx = [ (8x^2 - 1) / 16 ]·arcsin(2x) + (x / 8)·[ (1 - 4x^2)^0,5 ] + C.

Problemin Koç'taki Yalapşap Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/bilken13.png
https://mysite.ku.edu.tr/omustecap/wp-content/uploads/sites/342/2023/05/Math102Mid2.pdf
(Son soru)
https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/yalapa10.png