Çözüldü Trigonometrik İntegral - Üç Bilinmeyenli Denklem

∫ dx / (sin2x - 2sinx) = ?
https://www.facebook.com/photo/?fbid=1294396965434548&set=g.2245807300

İşlemlerin kolay takip edilebilmesi için mümkün olduğunca az parantez kullanıldı.

∫ dx / (sin2x - 2sinx) = ∫ dx / [ 2·sinx·(cosx - 1) = ∫ sinxdx / [ 2·(sinx)^2·(cosx - 1) ] =
∫ sinxdx / { 2·[ 1 - (cosx)^2 ]·(cosx - 1) } = ∫ sinxdx / [ 2·(1 - cosx)(1 + cosx)·(cosx - 1) ] =
-(1 / 2)·∫ sinxdx / [ (1 - cosx)^2·(1 + cosx) ]....(I)
cosx = u....(II) ⇒ -sinxdx = du değişken dönüşümleriyle (I) integralinin yeni hali;
(1 / 2)·∫ du / [ (1 - u)^2·(1 + u) ]....(III)
İlgilenen öğrencilere ödev olarak 1 / [ (1 - u)^2·(1 + u) ] ≡ A / (1 - u)^2 + B / (1 - u) + C / (1 + u) şeklinde rasyonel kesirlere ayrıldığında oluşan üç bilinmeyenli denklem sistemi çözülürse A = 1 / 2, B = C = 1 / 4 katsayılarına göre (III) integrali,
(1 / 2)·∫ du / [ 2·(1 - u)^2 + 4·(1 - u) + 4(1 + u) ] =
∫ du / [ 4·(1 - u)^2 + 8·(1 - u) + 8·(1 + u) ] =
∫ du / [ 4·(1 - u)^2 ] + ∫ du / [ 8(1 - u) ] + ∫ du / [ 8(1 + u) ] =
1 / [ 4·(1 - u) ] - (1 / 8)·ln|1 - u| + (1 / 8)·ln|1 + u| + C =
(1 / 8)·ln| (1 + u) / (1 - u) | + 1 / [ 4·(1 - u) ] + C....(IV)
(II) eşitliğinden x değişkenine dönülerek (IV) sonucu,
(1 / 8)·ln| (1 + cosx) / (1 - cosx) | + 1 / [ 4·(1 - cosx) ] + C ve biraz daha estetik bir görünüm için,
(1 / 8)·ln| { 1 + 2·[ cos(x / 2) ]^2 - 1 } / { 1 - 1 + 2·[ sin(x / 2) ]^2 } | + (1 / 4)·( 1 / { 1 - 1 + 2·[ sin(x / 2) ]^2 } ) + C =
(1 / 8)·ln| 2·[ cos(x / 2) ]^2 / { 2·[ sin(x / 2) ]^2 } | + (1 / 8)·[ csc(x / 2) ]^2 + C =
(1 / 8)·ln| [ cot(x / 2) ]^2 | + (1 / 8)·[ csc(x / 2) ]^2 + C =
(1 / 4)·ln| cot(x / 2) | + (1 / 8)·[ csc(x / 2) ]^2 + C.

Sonucun Türevinin Alınmasıyla WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/B5qhdHC2/integral-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=((1 / 4)·log| cot(x / 2) | + (1 / 8)·( csc(x / 2) )^2)'
("Alternate form" başlığı altındaki ilk ifade.)