Çözüldü Trigonometrik İntegralde Cebirsel Değişken Dönüşümü

MIT Integration Bee 2025 Final Sorularından(mış):
∫ tanx ( 2 + (4 + cosx)^0,5 )^0,5 dx = ?
(Okumada kolaylık olması için trigonometrik fonksiyonların argümanları parantez içinde yazılmadı.)

https://www.facebook.com/photo/?fbi...m.1512272143808099&idorvanity=310768207291838
(Yukarıdaki Facebook adresinde de yaklaşım olarak benzer bir çözüm var ama hem gereğinden fazla uzatılması hem de yazım titizliği açısından ben beğenmedim.)

2 + (4 + cosx)^0,5 = y^2....(I) ⇒ cosx = (y^2 - 2)^2 - 4 ⇒ -sinxdx = 4y(y^2 - 2)dy ⇒ tanx dx = 4y(y^2 - 2) dy / [ 4 - (y^2 - 2)^2 ] dönüşümleriyle integrali yeni hali;
∫ 4y^2·(y^2 - 2) dy / [ 4 - (y^2 - 2)^2 ] =
4·∫ (y^4 - 2y^2) dy / { [ 2 - (y^2 - 2) ][ 2 + (y^2 - 2) ] } =
4·∫ (y^4 - 2y^2) dy / [ (4 - y^2)·y^2 ] =
4·∫ (y^2 - 2) dy / (4 - y^2) =
-4·∫ (y^2 - 2) dy / (y^2 - 4) =
-4·∫ [ 1 + 2 / (y^2 - 4) ] dy =
-4·∫ dy - 8·∫ dy / [ (y - 2)(y + 2) ] =
-4·∫ dy - 8·∫ [ 0,25 / (y - 2) - 0,25 / (y + 2) ] dy =
-4·∫ dy - 2·∫ dy / (y - 2) + 2·∫ dy / (y + 2) =
-4y - 2·ln|y - 2| + 2·ln|y + 2| + C =
-4y + 2·ln| (y + 2) / (y - 2) | + C....(II)
(I) eşitliğinden ters dönüşümle y = [ 2 + (4 + cosx)^0,5 ]^0,5 ifadesi (II) ara sonucuna götürülünce;
-4·[ 2 + (4 + cosx)^0,5 ]^0,5 + 2·ln| { [ 2 + (4 + cosx)^0,5 ]^0,5 + 2 } / { [ 2 + (4 + cosx)^0,5 ]^0,5 - 2 } | + C.

Notlar:
1. Tam sonuçtaki ikinci logaritmalı ifade istenirse WolframAlpha'nın aşağıda gösterdiği gibi birinci terim olan ters tanjant hiperbolik fonksiyon fantezisiyle de yazılabilir. Bu işlem, zamanı olan ve meraklı öğrencilere araştırma ve öğrenme ödevi.
[https://z-library.sk/book/23Rkk4ZgRX/cracking-the-gre-mathematics-subject-test.html adresindeki kitabın 337. sayfasındaki (pdf dosyada 347) 20. problemin çözümü yararlı olur.]

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/mit35.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate tan(x)*sqrt(2+sqrt(4+cos(x)))dx

2. Mavi renkli sonuçtaki logaritmik terimin, WA'nın verdiğindeki ters tanjant hiperbolik ifadeyle aynı olduğunu (cos(x) < 0 şartıyla)) gösteren www.mathful.com yapay zekâsının ayrıntılı incelemesi ekte, özeti de aşağıdadır.