Çözüldü Trigonometrik İntegralde Polinom Bölmesiyle ve Basit Rasyonel Kesirlere Ayırmayla Çözüm

Bayram fantezisi olarak www.artofproblemsolving.com sitesinden çözümlü bir problemin fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:



Mümkün olduğunca az parantezle integrand düzenlendiğinde;
(sinx + 1)(cosx - 4) / [ (sinx - 3)(cosx + 2) ] = (sinxcosx - 4·sinx + cosx - 4) / (sinxcosx + 2·sinx + 3·cosx - 6) ifadesinde eşitliğin sağ tarafında polinom bölmesi yapılıp payda tekrar çarpım durumuna getirilerek,
(sinx + 1)(cosx - 4) / [ (sinx - 3)(cosx + 2) ] = 1 + (6·sinx - 4·cosx - 2) / [ (sinx - 3)(cosx + 2) ]....(I)
1'den sonraki kesrin integralinin alınabilmesi ve (sinx - 3) ile (cosx + 2) terimlerinin, payları değişken dönüşümüne uygun rasyonel kesirler şeklinde yazılabilmesi için A ve B birer gerçel sayı olmak üzere (I)'deki trigonometrik kesir,
(6·sinx - 4·cosx - 2) / [ (sinx - 3)(cosx + 2) ] = A·sinx / (cosx + 2) + B·cosx / (3 - sinx)....(II)
(6·sinx - 4cosx - 2) / [ (sinx - 3)(cosx + 2) ] = [ 3A·sinx - A·(sinx)^2 + B·(cosx)^2 + 2B·cosx ] / [ (sinx - 3)(cosx + 2) ] eşitliğinin yalnızca paylarının eşitliği gerektiği için,
6·sinx - 4·cosx - 2 = 3A·sinx - A·(sinx)^2 + B·(cosx)^2 + 2B·cosx eşitliğine Belirsiz Katsayılar Kuralı uygulandığında,
6 = 3A ⇒ A = 2....(III)
-4 = 2B ⇒ B = -2....(IV)
-2 = -2·(sinx)^2 - 2·(cosx)^2 = -2·[ (sinx)^2 + (cosx)^2 ] = -2·1 = -2
(III) ve (IV) katsayılarına göre (II) eşitliği 2·sinx / (cosx + 2) - 2·cosx / (3 - sinx) olup bu ifade (I)'e götürülerek,
(sinx + 1)(cosx - 4) / [ (sinx - 3)(cosx + 2) ] = 1 + 2·sinx / (cosx + 2) - 2·cosx / (3 - sinx)....(V)
(V) yapılanmasıyla problemdeki integral,
(alt sınır x = 0, üst sınır x = π / 2), ∫ { [ (sinx + 1) / (cosx + 2) ] / [ (sinx - 3) / (cosx - 4) ] } dx =
(alt sınır x = 0, üst sınır x = π / 2), ∫ [ 1 + 2·sinx / (cosx + 2) - 2·cosx / (3 - sinx) ] dx ve uygun değişken dönüşümleriyle çözüm kolayca tamamlanıp (basit ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev),
(alt sınır x = 0, üst sınır x = π / 2),| x + 2·ln[ (3 - sinx) / (2 + cosx) ] =
π / 2 + 2·ln(1) - 0 + 2·ln(1) =
π / 2 + 2·0 - 0 + 2·0 =
π / 2.

Sorunun Aslı ve Ayrıntıları Gösterilmemiş Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/aops10.png
https://artofproblemsolving.com/community/c7h3585994_trig_fractions_integration

Not: WA ===> WolframAlpha