Çözüldü Trigonometrik Limitin Serilerle Çözümü

National Taiwan University'den çözümlü bir sorunun fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

lim (x → 0) [ 1 - cos(3x) ] / [ (x^2 + 4)^0,5 - 2 ] limitini eşlenikle çarpma ve bölme yapmadan veya L'Hospital Kuralı'nı uygulamadan bulunuz.

cos(3x) fonksiyonu x = 0 için MacLaurin Serisine (ilgilenen öğrencilere araştırma ve öğrenme ödevi) açılınca;
cos(3x) = 1 - 9x^2 / 2 + 27x^4 / 8 - ... ve limitin yeni hali;
lim (x → 0) (9x^2 / 2 - 27x^4 / 8 + ...) / [ (x^2 + 4)^0,5 - 2 ] ve x = 2·tan(θ) dönüşümüyle, basit sadeleştirme işlemleri de ilgilenen öğrencilere ödev olarak limitin yeni hali;
lim (θ → 0) [ tan(θ) ]^2·{18 - 54·[ tan(θ) ]^2 + ...} / { 2·[ sec(θ) - 1 ] }
lim (θ → 0) [ sin(θ) ]^2·{18 - 54·[ tan(θ) ]^2 + ...} / { [ 2·cos(θ) ]·[ 1 - cos(θ) ] }
lim (θ → 0) [ 1 + cos(θ) ]·[ 1 - cos(θ) ]·{18 - 54·[ tan(θ) ]^2 + ...} / { [ 2·cos(θ) ]·[ 1 - cos(θ) ] }
lim (θ → 0) [ 1 + cos(θ) ]·{18 - 54·[ tan(θ) ]^2 + ...} / [ 2·cos(θ) ] =
[ (1 + 1) / (2·1) ]·{18 - 54·0^2 + 0 - 0 + ...} = 1·18 = 18.

0 / 0 Belirsizliği Olduğundan L'Hospital Kuralıyla Çözüm:
lim (x → 0) { 0 - 3·[ -sin(3x) ] } / { 2x / [ 2·(x^2 + 4)^0,5 ] - 0 }
lim (x → 0) 3·sin(3x)·(x^2 + 4)^0,5 / x
lim (x → 0) 3·[ sin(3x) / (3x) ]·3·(x^2 + 4)^0,5 =
3·1·3·√4 = 9·2 = 18.

Sorunun Aslının Eşlenikle Çarpma ve Bölme İle Çözümü:

https://i.ibb.co/zHNDYXPB/Taiwan.png
https://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/download/113/113M1(10-13)_solution.pdf
[ Sayfa 2 - 3, Soru 2.(c) ]