Çözüldü Trigonometrik Limitte Gereksiz Gamma Fonksiyonu Fantezisi

Facebook Calculus gruplarından birindeki sorunun fen lisesi için klasik sınav uyarlaması.

lim (x → 1) (1 - x^2) / sin(π·x) limitini türev, seriler, Gamma fonksiyonu vs kullanmadan sadece ilgili trigonometrik limit tanımıyla çözünüz.

x - 1 = y ⇒ x = y + 1 ve x → 1 ⇒ y → 0
lim (y → 0) (1 - y^2 - 2y - 1) / sin[ π·(y + 1) ]
lim (y → 0) -(y^2 + 2y) / sin(π + π·y)
lim (y → 0) -(y^2 + 2y) / [ -sin(π·y) ]
lim (y → 0) y^2 / sin(π·y) + lim (y → 0) 2y / sin(π·y)
lim (y → 0) (y / π)·[ π·y / sin(π·y) ] + lim (y → 0) (2 / π)·[ (π·y) / sin(π·y) ]
(0 / π)·1 + (2 / π)·1 =
0 + 2 / π =
2 / π.

Notlar:
1. Serilerle çözümde sin(π·x) fonksiyonu x = 1 etrafında Taylor Serisi'ne açılıp çarpanlara ayrılarak kesrin payındaki ifadeyle sadeleştirildikten sonra sonuca gidilir. İlgilenen öğrencilere ödev ama yapamayan olursa lütfen söylesin.
2. https://www.wolframalpha.com/input?i=series sin(pi*x) around x = 1

Sorunun Gamma Fonksiyonu ve L'Hospital Kuralı ile çözümü:
https://www.facebook.com/photo?fbid...m.1538184431216870&idorvanity=310768207291838