Çözüldü Trigonometrik Toplamın Çarpıma Dönüştürülmesi - Trigonometrik Denklem - Çarpanlara Ayırma

sin(6x) + sin(8x) + sin(10x) = 0 denkleminin [0, 2π] aralığında kaç kökü vardır?

Dream Team Matematik 34-Trigonometri
https://z-library.sk/book/6122635/a37b64/dream-team-matematik-34trigonometri.html
(Son soru, yanıtlar o sayfanın altında)

[ sin(6x) + sin(10x) ] + sin(8x) = 0
2·sin[ (6x + 10x) / 2 ]·cos[ (6x - 10x) / 2 ] + sin(8x) = 0
2·sin(8x)·cos(2x) + sin(8x) = 0
sin(8x)·[ 2·cos(2x) + 1 ] = 0
k ∈ Z

sin(8x) = 0 çarpanı için;
sin(8x) = sin(0) ⇒ 8x = 0 + k·360° ⇒ x = 0 + k·45° ≤ 360°....(I)
(I) eşitliğinden k = {0, 1, ..., 8} için kökler 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°, 360° olmak üzere 9 tane,
Ayrıca 8x = (180° - 0) + k·360° ⇒ x = 22,5° + k·45° ≤ 360°....(II)
(II) eşitliğinden k = {0, 1, ..., 7} için kökler 22,5°, 67,5°, 112,5°, 157,5°, 202,5°, 247,5°, 292,5°, 337,5° olmak üzere 8 tane,
9 + 8 = 17 kök,

2·cos(2x) + 1 = 0 çarpanı için;
2·cos(2x) + 1 = 0 ⇒ cos(2x) = -1 / 2 = cos(120°)
2x = 120° + k·180° ⇒ x = 60° + k·90° ≤ 360°....(III)
(III) eşitliğinden k = {0, 1, 2, 3} için kökler 60°, 150°, 240°, 330° olmak üzere 4 tane,

Toplam köklerin sayısı 17 + 4 = 21.

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input?i=sin(6x)+sin(8x)+sin(10x)=0, 0<=x<=2pi
("More solutions" butonuna tıklanarak)