Çözüldü Türevde Değişken Dönüşümüyle Basitleştirme - Doğrunun Analitiği

University of Notre Dame'dan çözümlü bir sorunun AYT uyarlaması:

y = f(x) = [ 1 + (1 + x)^0,5 ]^0,5 fonksiyonunun apsisi 8 olan noktasındaki teğetinin eksenlerle arasındaki kapalı alan kaç birim karedir?

A) 100 / 3
B) 102 / 5
C) 103 / 7
D) 105 / 8
E) 107 / 10

1 + x = y^2 ⇒ f(y^2 - 1) = (1 + y)^0,5 ⇒ 2y· f '(y^2 - 1) = 1 / [ 2·(1 + y)^0,5 ] ⇒ f '(y^2 - 1) = 1 / [ 4y·(1 + y)^0,5 ]....(I)
x = 8 ⇒ y = 3 ⇒ df (8) / dx = df (3) / dy olduğu için (I) eşitliğinden f '(8) = 1 / (4·3·2) = 1 / 24
f(8) = [ 1 + (1 + 8)^0,5 ]^0,5 = 2
f Fonksiyonunun (8, 2) noktasındaki teğetinin denklemi y - 2 = (1 / 24)(x - 8) ve
x eksenini kestiği nokta 0 - 2 = (1 / 24)(x - 8) ⇒ x = -40
y eksenini kestiği nokta y - 2 = (1 / 24)(0 - 8) ⇒ y = 5 / 3
Teğetin eksenlerle II. Bölgede meydana getirdiği kapalı alan |-40|·(5 / 3) / 2 = 100 / 3 Birim^2.
Veya integralle:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/nd_wa10.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate (x/24+5/3) dx from x=-40..0

Sorunun Aslı ve Biraz Uzun Yoldan Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/nd17.png
https://www3.nd.edu/~apilking/Math10550/Work/OLd Exams/SolFinF2008001 copy.pdf
(Sayfa 3, Soru 3)