Çözüldü Türevin Geometrik Anlamı - Doğrunun Analitiği - Kübik Denklem Çözümü

ODTÜ'den çözümlü bir problem:


https://i.ibb.co/ZzVn7k50/METU.png
https://users.metu.edu.tr/burakk/lecturenotes-119/20Feb.pdf
(Son örnek)

Sayın Doç.Dr. Burak Kaya Hocamızın çözümü esastır ama türevin yasaklandığı ve y = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d kübik denkleminin diskriminantının Δ = b^2·c^2 - 4·a·c^3 - 4·b^3·d - 27·a^2·d^2 + 18·a·b·c·d olarak verildiği klasik bir sınavda şöyle yapılabilir:
Teğet Denklemi y = m·x + n....(0) olup 20 = 3m + n ⇒ n = 20 - 3m....(I)
x^3 = m·x + n eşitliğinde (I) kullanılınca ortak denklem x^3 - m·x + 3·m - 20 = 0 denkleminde a = 1, b = 0, c = -m, d = 3m - 20 katsayılarına göre diskriminant yazılıp teğetlik için sıfıra eşitlenince;
Δ = 0^2·(-m)^2 - 4·1·(-m)^3 - 4·0^3·(3m - 20) - 27·1^2·(3m - 20)^2 + 18·1·0·(-m)·(3m - 20)
Δ = 4m^3 - 243m^2 + 3240m - 10800 = 0 ⇒ m^3 + 810m = (243 / 4)·m^2 + 2700
m(m^2 + 810) = 27(9m^2 / 4 + 100)
m = 4y....(II) dönüşümüyle 4y(16y^2 + 810) = 27(36y^2 + 100)
(16y^2 + 810) / 27 = (9y^2 + 25) / y eşitliğinde tam sayılarla çözüm için y = {3, 9, 27, ...} kümesindeki en küçük sayının olması gerektiği varsayımıyla y = 3 için,
(16·3^2 + 810) / 27 = (9·3^2 + 25) / 3
954 / 27 = (81 + 25) / 3
106 / 3 = 106 / 3 eşitliği gerçekleştiği için (II) eşitliğinden m = 4·3 = 12....(III)
(III) değeri (I)'deki yerine konulup n = 20 - 3·12 = -16....(IV)
(III) ve (IV) değerlerine göre (0) numaralı teğet denklemi y = 12·x - 16.

Not: y - 20 = 12(x - 3) ⇒ y = 12x - 16.

Kaynak: https://www.cuemath.com/discriminant-formula/