Soru Üçgende Alan - Trigonometri (Sonuç doğru mu?)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/zzgen221.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=261426401691196&set=gm.1882297155241152&type=3&theater&ifg=1
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Trigonometriyle biraz uzadı yine. Sentetik bir çözüm de sonucu doğrularsa emin olabiliriz.
|AC| = x
|CE| = 2x
∡DCE = θ
∡DEC = ∡ACD = 90° - θ
∡BED = 90° + θ
∡DAC = β
∡EBD = ∡CBA = 90° - β
∡BDE = φ
CDE dik üçgeninde sinθ = 2 / (2x) = 1 / x....(I) ve cosθ = |CD| / (2x) ⇒ |CD| = 2x·cosθ....(II)
(I) ve (II)'den |CD| = 2x·{ [ 1 - (1 / x)^2 ]^0,5 } = 2√(x^2 - 1)....(III)
cos(90° - θ) = sinθ olduğu dikkate alınıp ∆ACD için (I) ve (III) kullanılarak Kosinüs Teoremi ile
1^2 = [ 2√(x^2 - 1) ]^2 + x^2 - 2·x·[ 2√(x^2 - 1) ]·(1 / x) denklemi düzenlenirse (bu ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
(x^2 - 1)·[ 25(x^2 - 1) - 16 ] = 0 ⇒ x = ∓1 V x = (∓√41) / 5 olup problemde x > 1 olarak belirtilmemesine rağmen şekle göre
x = (√41) / 5 > 1....(IV) alınabilir.
(I) ve (IV) eşitliklerinden sinθ = 5 / √41....(V) ⇒ cosθ = [ 1 - (5 / √41)^2 ]^0,5 = 4 / √41....(VI)
(IV) ve (VI), (II)'ye taşınarak |CD| = 2·[ (√41) / 5 ]·(4 / √41) = 8 / 5 cm....(VII)
∆ACD için Sinüs Teoremi ile; (8 / 5) / sinβ = 1 / sin(90° - θ) ⇒ sinβ = (8 / 5)·cosθ ve (VI) değeri buradaki yerine konulup;
sinβ = (8 / 5)·(4 / √41) = 32 / (5√41)....(VIII) ⇒ cosβ = { 1 - [ 32 / (5√41) ]^2 }^0,5 = 1 / (5√41)....(IX)
∆BDE için Sinüs Teoremi ile; 2 / sin(90° - β) = |BD| / sin(90° + θ) eşitliği sadeleştirilerek 2 / cosβ = |BD| / cosθ olup (VI) ve (IX) değerleri kullanılıp |BD| = [ 2·(4 / √41) ] / [ 1 / (5√41) ] = 40 cm....(X)
D noktasındaki bütünlerlik şartından φ + 90° + { 180° - [ (90° - θ) + β ] } = 180° ⇒ φ = β - θ....(XI)
Alan(∆BDE) = (1 / 2)·|BD|·2·sinφ = |BD|·sin(β - θ) eşitliğinde (X), (VIII), (IX), (VI), (V) değerleri de kullanılarak;
Alan(∆BDE) = 40·{ [ 32 / (5√41) ]·(4 / √41) - (5 / √41)·[ 1 / (5√41) ] }
Alan(∆BDE) = 40·(128 - 5) / (5·41)
Alan(∆BDE) = 8·123 / 41
Alan(∆BDE) = 8·3
Alan(∆BDE) = 24 cm^2