Çözüldü Üçgende İç Açıortay Teoremi - Trigonometri

ABC üçgeninde [AB] üzerindeki bir D noktasına göre [CD] açıortay, |AC| = 5 cm, |BC| = 6 cm, |AB| = 8 cm ise |AD| = ?
Final Dergisi Matematik Konu Anlatımlı - 2, 2001, Sayfa 182, Örnek - 2

Kitaptaki Çözüm:
İç açıortay teoremi gereğince |AD| / |BD| = 5 / 6
k ∈ R <=== Bunu ben ekledim.
|AD| = 5k, |BD| = 6k
|AB| = 11k = 8 ⇒ k = 8 / 11
|AD| = 5k = 5·8 / 11 = 40 / 11 cm.

Çözüm - 2: (Yalnızca zamanı olan ve trigonometriye meraklı öğrenciler için)
|BD| = y cm
|AD| = 8 - y cm....(0)
∡CAD = ∡CAB = β
∡ACD = ∡BCD = θ
∡CDB = θ + β
∡ABC = ∡DBC = 180° - (2θ + β)
ΔABC için Sinüs Teoremi gereğince 6 / sin(β) = 5 / sin[ 180° - (2θ + β) ] ⇒ sin(2θ + β) = 5·sin(β) / 6....(I)
ΔACD için Sinüs Teoremi gereğince |CD| / sin(β) = (8 - y) / sin(θ)....(II)
ΔBCD için Sinüs Teoremi gereğince |CD| / sin[ 180° - (2θ + β) ] = y / sin(θ)....(III)
(II) ve (III) taraf tarafa bölünerek sadeleştirilince sin(2θ + β) = (8 - y)·sin(β) / y....(IV)
(I) ve (IV) eşitliklerinin sağ taraflarının da eşit olması gerektiği için 5·sin(β) / 6 = (8 - y)·sin(β) / y ⇒ y = 48 / 11....(V)
(V) değeri (0)'daki yerine konulduğunda |AD| = 8 - 48 / 11 = (88 - 48) / 11 = 40 / 11 cm.